Question

在△ABC中，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定

在△ABC中，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；③sinA：sinB：sinC=7：5：3；④若b+c=8，则△ABC的面积是 15 3 2 ．其中正确结论的序号是 ______．

Answer 1

由已知可设b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0）， 则a= 7 2 k，b= 5 2 k，c= 3 2 k， ∴a：b：c=7：5：3， ∴sinA：sinB：sinC=7：5：3，∴③正确； 同时由于△ABC边长不确定，故①错； 又cosA= b 2 + c 2 - a 2 2bc = 25 4 k 2 + 9 4 k 2 - 49 4 k 2 2× 5 2 × 3 2 k 2 =- 1 2 ＜0， ∴△ABC为钝角三角形，∴②正确； 若b+c=8，则k=2，∴b=5，c=3， 又A=120°，∴S △ABC = 1 2 bcsinA= 15 4 3 ，故④错． 故答案：②③