Question

如图1所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B点和C点在AE的同侧，BD⊥AE于D点

如图1所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B点和C点在AE的同侧，BD⊥AE于D点，CE⊥AE于E点．（1）求证：DE=BD+CE；（2）若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置时，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明；

Answer 1

解答：（1）证明：∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，

∠BDA＝∠AEC ∠ABD＝∠CAE AB＝AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∴AD+AE=BD+CE，即DE=BD+CE；

（2）解：BD=DE+CE 或 DE=BD-CE．理由如下：
∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=AC，
在△ABD和△CAE中，

∠BDA＝∠AEC ∠ABD＝∠CAE AB＝AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE或DE=BD-CE．