Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=-x2+ax．（1）当a=-2时，求函数f（x）的解析

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=-x2+ax．（1）当a=-2时，求函数f（x）的解析式；（2）若函数f（x）为单调递减函数；①直接写出a的范围（不必证明）；②若对任意实数m，f（m-1）+f（m2+t）＜0恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）当x＜0时，-x＞0，又因为f（x）为奇函数，
所以f（x）=-f（-x）=-（-x²+2x）=x²-2x，
 所以f（x）=

?x2?2x，x≥0 x2?2x，x＜0

．
（2）①当a≤0时，对称轴x＝

a

2

≤0，所以f（x）=-x²+ax在[0，+∞）上单调递减，
由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以a≤0时，f（x）在R上为单调递减函数，
当a＞0时，f（x）在（0，

a

2

）递增，在（

a

2

，+∞）上递减，不合题意，
所以函数f（x）为单调减函数时，a的范围为a≤0．
②f（m-1）+f（m²+t）＜0，∴f（m-1）＜-f（m²+t），
又f（x）是奇函数，∴f（m-1）＜f（-t-m²），
又因为f（x）为R上的单调递减函数，所以m-1＞-t-m²恒成立，
所以t＞?m2?m+1＝?(m+

1

2

)2+

5

4

恒成立，所以t＞

5

4

．
即实数t的范围为：（

5

4

，+∞）．