Question

（2009?重庆）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，

（2009?重庆）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为65，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2），
∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD，
∴AD=BC．AD=2．
∴E（0，1）．（1分）
设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）．
将点E的坐标代入，得c=1．将c=1和点D、C的坐标分别代入，
得

4a+2b+1＝2 9a+3b+1＝0

（2分）
解这个方程组，得

a＝? 5 6 b＝ 13 6

故抛物线的解析式为y=-

5

6

x²+

13

6

x+1；（3分）

（2）EF=2GO成立．（4分）
∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为

6

5

，
∴点M的纵坐标为

12

5

．（5分）
设DM的解析式为y=kx+b₁（k≠0），将点D、M的坐标分别代入，
得

2k+b1＝2 6 5 k+b1＝ 12 5

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