Question

如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，动点E（与点A、C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于点F． 小题1:当

如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，动点E（与点A、C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于点F． 小题1:当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长小题2:当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长小题3:试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长．

Answer 1

小题1:CE＝2 小题2: 小题3:在AB上存在点P．使△EFP为等腰直角三角形，此时EF＝ 或EF＝

解：（1）∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等， ∴S△ECF：S△ACB=1：2， 又∵EF∥AB，∴△ECF∽△ACB， ∴ ,且AC=4， ∴CE=2 ； （2）设CE的长为x， ∵△ECF∽△ACB， ∴ ,∴CF= x， 由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，得： x+EF+ x=(4-x)+5+(3- x)+EF 解得x= ，∴CE的长为 （3）△EFP为等腰直角三角形，有两种情况： ①如图1，假设∠PEF=90°，EP=EF 由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90° ∴Rt△ACB斜边AB上高CD= ,设EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得： 即 ， 解得x= ，即EF= 当∠EFP´=90°，EF=FP′时，同理可得EF= ； ②如图2，假设∠EPF=90°，PE=PF时，点P到EF的距离为 EF 设EF=x，由△ECF∽△ACB，得： 解得x=  ，即EF=   综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形，此时EF= 或EF=