对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C
对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的好点．等边△DEF的三个顶点刚好在坐标轴上，其中D点坐...
对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的好点．等边△DEF的三个顶点刚好在坐标轴上，其中D点坐标为（0，4）．（1）求等边△DEF内切圆C的半径；（2）当⊙O的半径为2时，若直线DE上的点P（m，n）是⊙O的好点，求m的取值范围；（3）若线段EF上的所有点都是某个圆的好点，求这个圆的半径r的取值范围．
展开
1个回答
展开全部
（1）设⊙C与DE相切于点Q，设⊙C的半径为r，如图1，
则有CQ⊥DE，OC=CQ=r．
∵⊙C是等边△DEF的内切圆，
∴∠DEO=∠FEO=
∠DEF=30°．
∴CE=2CQ=2r．
∵D点坐标为（0，4），
∴OD=4．
∵∠DOE=90°，
∴tan∠DEO=
=
=
．
∴OE=4
．
∴OE=OC+CE=3r=4
．
∴r=
．
∴等边△DEF内切圆C的半径为
．
（2）设PA、PB与⊙C分别相切于点A、B，连接BC，如图2，
则有PA=PB，∠APC=BPC=
∠APB，∠PBC=90°．
由题可知：若P刚好是⊙C的好点，则∠APB=60°，
∴∠BPC=30°．
∴PC=2BC．
设⊙C的半径为r，⊙C的好点P到圆心C的距离为d，
则有0≤d≤2r．
由上述证明可知：
若直线DE上的点P（m，n）是⊙O的好点，则0≤OP≤4．
过点O作OH⊥DE于H，如图3所示，
在Rt△DOE中，
∵DO=4，∠DEO=30°，∴DE=8．
∴OH=
=
则有CQ⊥DE，OC=CQ=r．
∵⊙C是等边△DEF的内切圆，
∴∠DEO=∠FEO=
| 1 |
| 2 |
∴CE=2CQ=2r．
∵D点坐标为（0，4），
∴OD=4．
∵∠DOE=90°，
∴tan∠DEO=
| OD |
| OE |
| 4 |
| OE |
| ||
| 3 |
∴OE=4
| 3 |
∴OE=OC+CE=3r=4
| 3 |
∴r=
4
| ||
| 3 |
∴等边△DEF内切圆C的半径为
4
| ||
| 3 |
（2）设PA、PB与⊙C分别相切于点A、B，连接BC，如图2，
则有PA=PB，∠APC=BPC=
| 1 |
| 2 |
由题可知：若P刚好是⊙C的好点，则∠APB=60°，
∴∠BPC=30°．
∴PC=2BC．
设⊙C的半径为r，⊙C的好点P到圆心C的距离为d，
则有0≤d≤2r．
由上述证明可知：
若直线DE上的点P（m，n）是⊙O的好点，则0≤OP≤4．
过点O作OH⊥DE于H，如图3所示，
在Rt△DOE中，
∵DO=4，∠DEO=30°，∴DE=8．
∴OH=
| OD?OE |
| DE |
4×4
|
