Question

如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B=35°，BC=AI+AC，则∠BAC的度数为（　　）A．60

如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B=35°，BC=AI+AC，则∠BAC的度数为（　　）A．60°B．70°C．80°D．90°

Answer 1

解：方法一：如图1，在BC上取CD=AC，连接BI、DI，
∵CI平分∠ACB，
∴∠ACI=∠BCI，
在△ACI与△DCI中，

AC＝CD ∠ACI＝∠BCI CI＝CI

，
∴△ACI≌△DCI（SAS），
∴AI=DI，∠CAI=∠CDI，
∵BC=AI+AC，
∴BD=AI，
∴BD=DI，
∴∠IBD=∠BID，
∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD，
又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，
∴BI是∠ABC的平分线，
∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，
∴∠CDI=∠ABC，
∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC，
∵∠B=35°，
∴∠BAC=35°×2=70°；

方法二：如图2，延长CA到D，使AD=AI，
∴∠D=∠AID，
∵BC=AI+AC，
∴BC=CD，
在△BCI与△DCI中，

BC＝CD ∠BCI＝∠DCI CI＝CI

，
∴△BCI≌△DCI（SAS），
∴∠D=∠CBI，
∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，
∴BI是∠ABC的平分线，
∴∠ABC=2∠CBI，
又∵∠CAI=∠D+∠AID=2∠D，
∠BAC=2∠CAI=2∠ABC，
∵∠B=35°，
∴∠BAC=2×35°=70°．
故选B．