Question

已知数列{an}是首项a1=1的等比数列，其前n项和为Sn，且S3，S2，S4成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式

已知数列{an}是首项a1=1的等比数列，其前n项和为Sn，且S3，S2，S4成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式．（2）若bn=log2|an|，（n∈N+），设Tn为数列{bn+1|an|}的前n项和，求证：Tn＜4．

Answer 1

（1）解：设数列{a_n}的公比为q，
∵且S₃，S₂，S₄成等差数列，
∴S₃+S₄=2S₂，
即（a₁+a₂+a₃）+（a₁+a₂+a₃+a₄）=2（a₁+a₂）
∴2a₃+a₄=0，q=

a4

a3

=-2，
∴a_n=a₁q^n-1=（-2）^n-1；
（2）证明：|a_n|=2^n-1，bn＝log22n?1＝n?1，
∴

bn+1

|an|

＝

n

2n?1

，
∴Tn＝

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n

2n?1

---------①

1

2

Tn=

1

21

+

2

22

+…+

n?1

2n?1

+

n

2n

------②
①-②得，

1

2

Tn＝

1

20

+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n?1

?

n

2n

=

1? 1 2n

1? 1 2

?

n

2n

=2-

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