Question

水平固定的光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一阻值为R的电阻（金属

水平固定的光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一阻值为R的电阻（金属框架、金属棒及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B．现给棒ab一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图甲所示．（1）金属棒从开始运动到达到稳定状态的过程中，求通过电阻R的电量和电阻R中产生的热量；（2）当滑行过程中电阻上产生的热量为Q时，杆ab的加速度多大？（3）金属棒从开始运动到达到稳定状态的过程中求金属棒通过的位移；（4）如果将U型金属框架左端的电阻R换为一电容为C的电容器，其他条件不变，如图乙所示．求金属棒从开始运动到达稳定状态时电容器的带电量和电容器所储存的能量（不计电路向外辐射的能量）．

Answer 1

（1）由动量定理得：?

.

F

t＝0?mv0
即：?

.

I

LB?t＝0?mv0
q=It
所以q＝

mv0

BL

由能量守恒定律得：
Q＝

1

2

mv02
（2）

.

E

＝

△?

△t

＝

B△S

△t

＝

BLs

△t

q＝

.

I

△t＝

. E

R

△t＝

BLs

R

所以有：s＝

qR

BL

＝

mv0R

B2L2

（3）当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这时电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，当ab棒以稳定速度v匀速运动时，电容两端电压等于电动势即：
BLv=U_C…①
U_C=

QC

C

…②
而对导体棒ab利用动量定理可得：
-BLQ_c=mv-mv₀ …③
由①②③式联立可求得：
v＝

mv0

m+B2L2C

Qc＝CBLv＝

CBLmv0

m+B2L2C

Ec＝ 1 2 mv02? 1 2 mv2＝ 1 2 mv02? 1 2 m( mv0 m+B2L2C )2

1

2

mv02?

1

2

m(

mv0

m+B2L2C

)2
答：（1）金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中求通过电阻R的电量为

mv0

BL

和电阻R中产生的热量为

1

2

mv02；
（2）金属棒从开始运动到达稳定状态的过程中求棒通过的位移为

mv0R

B2L2

；
（3）如果将U型金属框架左端的电阻R换为一电容为C的电容器，金属棒从开始运动到达稳定状态时电容器的带电量为

CBLmv0

m+B2L2C

和电容器所储存的能量为

1

2

mv02?

1

2

m(

mv0

m+B2L2C

)2．