Question

已知点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是-14，记动点P的轨

已知点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是-14，记动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上的动点，直线AQ，BQ分别交直线l：x=4于点M，N，线段MN的中点为D，求直线QB与直线BD的斜率之积的取值范围；（3）在（2）的条件下，记直线BM与AN的交点为T，试探究点T与曲线C的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）设P（x，y），因为A（-2，0），B（2，0）
∴由已知，

y

x+2

?

y

x?2

＝?

1

4

（x≠±2）
化简，得

x2

4

+y2＝1（x≠±2）．…（4分）
（2）设直线AQ的斜率为k（k≠0），则由题可得直线BQ的斜率为-

1

4k

，
∴直线AQ的方程为y=k（x+2），令x=4，则得M（4，6k），
直线BQ的方程为y=-

1

4k

（x-2），令x=4，则得N（4，-

1

2k

），
∴D（4，3k-

1

4k

），
∴k_BD=

3k? 1 4k

4?2

=

3k

2

?

1

8k

…（8分）
故k_BDk_QB=（

3k

2

?

1

8k

）×（-

1

4k

）=-

3

8

+

1

32k2

＞-

3

8

，
∴直线QB与直线BD的斜率之积的取值范围为（-

3

8

，+∞）…（10分）
（3）由（2）得，M（4，6k），N（4，-

1

2k

），
∴k_BM?k_AN=

6k?0

4?2

?

? 1 2k ?0

4+2

=-

1

4

…（12分）
∴点T在曲线C上．…（14分）