如图,圆o的直径AB垂直于弦CD,过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P
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证明:
连接OC、OD。
①
∵PC是⊙O的切线
∴∠PCO=90°
∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD
∴AB垂直平分CD(垂径定理)
即AP垂直平分CD
∴PD=PC(垂直平分线上的点到线段两端距离相等)
又∵OD=OC,OP=OP
∴△ODP≌△OCP(SSS)
∴∠PDO=∠PCO=90°
∴PD是⊙O的切线
②
∵PD是⊙O的切线
∴PD^2=PB·PA(切割线定理)
【或】
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°=∠PDO
∵∠ADP=∠ODA+∠PDO
∠DBP=∠OAD+∠ADB
∴∠ADP=∠DBP
又∵∠APD=∠DPB(公共角)
∴△ADP∽△DBP(AA)
∴PD∶PB=PA∶PD
∴PD^2=PB·PA
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