Question

如图，圆o的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P

Answer 1

证明：

连接OC、OD。

①

∵PC是⊙O的切线

∴∠PCO=90°

∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD

∴AB垂直平分CD（垂径定理）

即AP垂直平分CD

∴PD=PC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）

又∵OD=OC，OP=OP

∴△ODP≌△OCP（SSS）

∴∠PDO=∠PCO=90°

∴PD是⊙O的切线

②

∵PD是⊙O的切线

∴PD^2=PB·PA（切割线定理） 

【或】

∵OA=OD

∴∠OAD=∠ODA

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°=∠PDO

∵∠ADP=∠ODA+∠PDO

   ∠DBP=∠OAD+∠ADB

∴∠ADP=∠DBP

又∵∠APD=∠DPB（公共角）

∴△ADP∽△DBP（AA）

∴PD∶PB=PA∶PD

∴PD^2=PB·PA