Question

已知抛物线C：y 2 =2px（P＞0）的准线为l，过M（1，0）且斜率为 3 的直线与l相交于点P，与

已知抛物线C：y 2 =2px（P＞0）的准线为l，过M（1，0）且斜率为 3 的直线与l相交于点P，与C的一个交点为Q， PM = MQ ．（1）求抛物线的方程；（2）过点K（-1，0）的直线m与C相交于A、B两点，①若BM=2AM，求直线AB的方程；②若点A关于x轴的对称点为D，求证：点M在直线BD上．

Answer 1

（1）设直线PQ：y=3x-3，代入y 2 =2px得3x 2 +（-6-2p）x+3=0， 又∵ PM = MQ ， ∴x=12p+2，解得p 2 +4P-12=0， 解得p=2，p=-6（舍去） 故抛物线的方程为：y 2 =4x． （2）①设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， | BM |= ( x 2 -1)    2 + y 2 2 =x 2 +1， | AM | = ( x 1 -1) 2 + y 1   2 = x 1 +1 ， ∵ | BM | =2| AM | ， ∴x 2 =2x 1 +1， 由此能导出直线AB的斜率 k=± 2 2 3 ， ∴直线AB为： y=± 2 2 3 (x+1) ②设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），则D（x 1 ，-y 1 ）， 设直线l：y=k（x+1），（k≠0）， 代入y 2 =4x，化简整理，得k 2 x 2 +（2k 2 -4）x+k 2 =0， 由△＞0，得0＜k 2 ＜1， x 1 + x 2 =- 2 k 2 -4 k 2 ， x 1 x 2 =1 ， k BF = y 2 x 2 -1 ， k DF =- y 1 x 1 -1 ， ∴ k BF - k DF = y 2 x 2 -1 + y 1 x 1 -1 = k( x 2 +1)( x 1 -1)+k( x 1 +1)( x 2 -1) ( x 2 -1)( x 1 -1) = 2k( x 1 x 2 -1) x 1 x 2 -( x 1 + x 2 )+1 =0， ∴点M在BD上．