Question

如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；

如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）当AB=AC时，判断四边形DEFG的形状；（3）连接OA，当OA=BC时，判断四边形DEFG的形状，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵D、E分别为AC、AB的中点 ∴ED ∥ BC， ED= 1 2 BC ． 同理FG ∥ BC， FG= 1 2 BC ， ∴ED ∥ FG，ED=FG， ∴四边形DEFG是平行四边形； （2）如图1，当AB=AC时，?DEFG变成矩形．理由如下： 连接AO并延长交BC于点M． ∵三角形的三条中线相交于同一点，△ABC的中线BD、CE交于点O， ∴M为BC的中点， 当AB=AC时，AM⊥BC， ∵E，F，G分别是AB，OB，OC的中点， ∴EF ∥ AO，FG ∥ BC， ∴EF⊥FG； ∴?EFGH是矩形． （3）如图2，当OA=BC时，四边形DEFG是菱形． ∵D、G分别是AC、OC的中点 ∴ DG= 1 2 AO ． ∵OA=BC ∴DG=FG． ∵四边形DEFG是平行四边形 ∴四边形DEFG是菱形．