（2013?黄浦区一模）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=5，sin∠B=35，点E是边BC上的一个动点（
（2013?黄浦区一模）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=5，sin∠B=35，点E是边BC上的一个动点（不与点B、C重合），作∠AEF、∠AEB，...
（2013?黄浦区一模）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=5，sin∠B=35，点E是边BC上的一个动点（不与点B、C重合），作∠AEF、∠AEB，使边EF交边CD与点F（不与点C、D重合），设BE=x，CF=y．（1）求边BC的长：（2）当△ABE与△CEF相似时，求BE的长：（3）求y关于x的函数关系式，并写出定义域．
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（1）如图：过A作AM⊥BC，过D作DN⊥BC，
∵等腰梯形ABCD，AM⊥BC，DN⊥BC，sin∠B=
，
∴AD=MN； BM=CN；AB=DC=5；∠B=∠C，
∴AM=AB?sin∠B=5×
=3
∴BM=CN=
=
=4
∴BC=BM+MN+CN=AD+2BM=2+2×4=10；
（2）△ABE与△CEF相似有两种情况，如图：
①当∠AEB=∠FEC时
∵∠AEF=∠AEB
∴∠AEF=∠AEB=∠FEC=60°
过A作AM⊥BC
由（1）知：AM=3，BM=4
∴ME=AM?tan60°=3×
=
∴BE=BM+ME=4+
，
②当∠AEB=∠EFC时
∵∠AEF=∠AEB
∴∠AEF=∠EFC
∴AE∥DC
∴∠AEB=∠C=∠B
△ABE是等腰三角形
过A 作AM⊥BC
∴BM=ME（等腰三角形三线合一性质）
∵BM=4
∴BE=2BM=8
综上，当△ABE∽△CEF时，BE的长为4+
或8；
（3）当∠AEB=∠FEC时，△AEB∽△FEC，
＝
∵等腰梯形ABCD，AM⊥BC，DN⊥BC，sin∠B=
| 3 |
| 5 |
∴AD=MN； BM=CN；AB=DC=5；∠B=∠C，
∴AM=AB?sin∠B=5×
| 3 |
| 5 |
∴BM=CN=
| AB2?AM2 |
| 52?32 |
∴BC=BM+MN+CN=AD+2BM=2+2×4=10；
（2）△ABE与△CEF相似有两种情况，如图：
①当∠AEB=∠FEC时
∵∠AEF=∠AEB
∴∠AEF=∠AEB=∠FEC=60°
过A作AM⊥BC
由（1）知：AM=3，BM=4
∴ME=AM?tan60°=3×
| ||
| 3 |
| 3 |
∴BE=BM+ME=4+
| 3 |
②当∠AEB=∠EFC时
∵∠AEF=∠AEB
∴∠AEF=∠EFC
∴AE∥DC
∴∠AEB=∠C=∠B
△ABE是等腰三角形
过A 作AM⊥BC
∴BM=ME（等腰三角形三线合一性质）
∵BM=4
∴BE=2BM=8
综上，当△ABE∽△CEF时，BE的长为4+
| 3 |
（3）当∠AEB=∠FEC时，△AEB∽△FEC，
| y |
| 5 |
