Question

已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；

已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t≤2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设△AQP的面积为y（cm2），当t为何值时，y最大，并求出最大值．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，AB=

BC2+AC2

，
由题意知：AP=5-t，AQ=2t，
若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，
∴

2t

4

=

5?t

5

，
解得：t=

10

7

．
故当t=

10

7

秒时，PQ∥BC；

（2）如图，过点P作PH⊥AC于H．
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴

PH

BC

=

AP

AB

，
∴

PH

3

=

5?t

5

，
∴PH=3-

3

5

t，
∴△AQP的面积为：
y=

1

2

×AQ×PH
=

1

2

×2t×（3-

3

5

t）
=-

3

5

t²+3t
=-

3

5

（t²-5t）
=-

3

5

（t-

5

2

）²+

15

4

，
∴当t为

5

2

秒时，y最大，最大值为：

15

4

cm²．