Question

设函数f（x）=xekx（k≠0）．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当k＞0时，求函数

设函数f（x）=xekx（k≠0）．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当k＞0时，求函数f（x）的单调区间；（3）若函数f（x）在区间（-1，1）内单调递增，求k的取值范围．

Answer 1

（1）因为f'（x）=（1+kx）e^kx，f'（0）=1，f（0）=1．
所以曲线y=f（x）在点（0，f （0））处的切线方程为y=x．…．（4分）
（2）由f'（x）=（1+kx）e^kx=0得1+kx=0，即x＝?

1

k

，k≠0．…．（5分）
①若k＞0，则当x＜?

1

k

时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．
当x＞?

1

k

时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．…．（7分）
②若k＜0，则当x＜?

1

k

时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
当x＞?

1

k

时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．…..（9分）
所以当k＞0时，函数的减区间为（-∞，?

1

k

），增区间为（?

1

k

，+∞）．
当k＜0时，函数的增区间为（-∞，?

1

k

），减区间为（?

1

k

，+∞）．
（3）由（II）知，若k＞0，则当且仅当?

1

k

≤-1，即k≤1，f（x）在区间（-1，1）内单调递增；…（11分）
若k＜0，则当且仅当?

1

k

≥1，即k≥-1．
综上可知，f（x）在区间（-1，1）内单调递增时，k的取值范围是[-1，0）∪（0，1]．