Question

设函数f(x)=xe kx (k≠0)，(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)

设函数f(x)=xe kx (k≠0)，(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)若函数f(x)在区间(-1，1)内单调递增，求k的取值范围．

Answer 1

解：(Ⅰ) ，f′(0)=1，f(0)=0， 曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=x。 (Ⅱ)由 ，得 ， 若k＞0，则当 时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； 当 时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增； 若k＜0，则当 时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增； 当 时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减； (Ⅲ)由(Ⅱ)知，若k＞0，则当且仅当 ，即k≤1时，函数f(x)在(-1，1)内单调递增； 若k＜0，则当且仅当 ，即k≥-1时，函数f(x)在(-1，1)内单调递增； 综上可知，函数f(x)在区间(-1，1)内单调递增时，k的取值范围是[-1，0)∪(0，1]。