Question

如图（1），抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．[图（2）、（3）为解答备用图]（

如图（1），抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．[图（2）、（3）为解答备用图]（1）k=______，点A的坐标为______，点B的坐标为______；（2）设抛物线y=x2-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在抛物线y=x2-2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

Answer 1

（1）∵抛物线y=x²-2x+k与y轴交于点C（0，-3），
∴k=-3，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
令y=0，则x²-2x-3=0，
∴（x+1）（x-3）=0，
∴x+1=0，x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点A的坐标为A（-1，0），点B的坐标为B（3，0）；
故答案为：-3，（-1，0），（3，0）；

（2）如图（1），∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的顶点为M（1，-4），连接OM，
则△AOC的面积=

1

2

AO?OC=

1

2

×1×3=

3

2

，△MOC的面积=

1

2

OC?|x_M|=

1

2

×3×1=

3

2

，
△MOB的面积=

1

2

OB?|y_M|=

1

2

×3×4=6，
∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=

3

2

+

3

2

+6=9；
（说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．）

（3）如图（2），过点B作BQ₁⊥BC，交抛物线于点Q₁、交y轴于点E，连接Q₁C，
∵∠CBO=45°，
∴∠EBO=45°，BO=OE=3，
∴点E的坐标为（0，3），
∴直线BE的解析式为y=-x+3，
由

y＝?x+3 y＝x2?2x?3

，
 解得

x1＝?2 y1＝5

，