（2014?来宾）如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若
（2014?来宾）如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对...
（2014?来宾）如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（1，0）和B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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（1）把点A（1，0）和B（4，0）代入y=ax2+bx+2得，
，
解得
，
所以，抛物线的解析式为y=
x2-
x+2；
（2）抛物线的对称轴为直线x=
，
∵四边形OECF是平行四边形，
∴点C的横坐标是
×2=5，
∵点C在抛物线上，
∴y=
×52-
×5+2=2，
∴点C的坐标为（5，2）；
（3）设OC与EF的交点为D，
∵点C的坐标为（5，2），
∴点D的坐标为（
，1），
①点O是直角顶点时，易得△OED∽△PEO，
∴
=
，
即
=
，
解得PE=
，
所以，点P的坐标为（
，-
）；
②点C是直角顶点时，同理求出PF=
，
所以，PE=
+2=
，
所以，点P的坐标为（
，
）；
③点P是直角顶点时，由勾股定理得，OC=
=
，
∵PD是OC边上的中线，
∴PD=
OC=
，
若点P在OC上方，则PE=PD+DE=
+1，
此时，点P的坐标为（
，
），
若点P在OC的下方，则PE=PD-DE=
-1，
此时，点P的坐标为（
，
），
综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（
，-
）或（
，
）或（
，
|
解得
|
所以，抛物线的解析式为y=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
（2）抛物线的对称轴为直线x=
| 5 |
| 2 |
∵四边形OECF是平行四边形，
∴点C的横坐标是
| 5 |
| 2 |
∵点C在抛物线上，
∴y=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴点C的坐标为（5，2）；
（3）设OC与EF的交点为D，
∵点C的坐标为（5，2），
∴点D的坐标为（
| 5 |
| 2 |
①点O是直角顶点时，易得△OED∽△PEO，
∴
| OE |
| DE |
| PE |
| OE |
即
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| 1 |
| PE | ||
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解得PE=
| 25 |
| 4 |
所以，点P的坐标为（
| 5 |
| 2 |
| 25 |
| 4 |
②点C是直角顶点时，同理求出PF=
| 25 |
| 4 |
所以，PE=
| 25 |
| 4 |
| 33 |
| 4 |
所以，点P的坐标为（
| 5 |
| 2 |
| 33 |
| 4 |
③点P是直角顶点时，由勾股定理得，OC=
| 52+22 |
| 29 |
∵PD是OC边上的中线，
∴PD=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
若点P在OC上方，则PE=PD+DE=
| ||
| 2 |
此时，点P的坐标为（
| 5 |
| 2 |
2+
| ||
| 2 |
若点P在OC的下方，则PE=PD-DE=
| ||
| 2 |
此时，点P的坐标为（
| 5 |
| 2 |
2?
| ||
| 2 |
综上所述，抛物线的对称轴上存在点P（
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| 2 |
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| 2 |
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| 5 |
| 2 |
2+
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