Question

已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求：代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值

已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，求：代数式x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值．

Answer 1

由已知条件可知xy和（x+y）是方程t²-17t+66=0的两个实数根，由t₁=6，t₂=11
得

xy＝6 x+y＝11

或

xy＝11 x+y＝6

当xy=11，x+y=6时，x、y是方程v²-6v+11=0的两个根
∵△₁=36-44＜0
∴此方程没有实数根
当xy=6，x+y=11时，x、y是方程u²-11u+6=0的两个根
∵△₂=121-24＞0
∴此方程有实数根，这时x²+y²=（x+y）²-2xy=109
∴x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴=x⁴+y⁴+x²y²+xy（x²+y²）=（x²+y²）²-x²y²+xy（x²+y²）=12499．