Question

如图甲所示，一半径为2t、电阻为r的带有极窄缝隙的金属圆环和一电阻为R的定值电阻构成一闭合电路，有一板

如图甲所示，一半径为2t、电阻为r的带有极窄缝隙的金属圆环和一电阻为R的定值电阻构成一闭合电路，有一板间距离为d的平行板电容器和电阻并联，金属圆环内存在一半径为l的有界匀强磁场，该磁场区域与金属圆环共心，磁感应强度随时间的变化图象如图乙所示，设磁感应强度方向垂直纸面向正．t=0时刻在接近A板的位置处无初速释放一不计重力的带负电粒子，粒子质量为m，电荷电为-q，求：（1）0-T3时间内A、B两板间的电压；（2）粒子在0-T时间内发生的位移（假设电荷没有到达B板）；（3）要使粒子到达B板时速度最大，两板间的间距应满足的条件．

Answer 1

（1）在0～

T

3

时间内，有：E₁=

△Φ1

△t1

=

△B1

△t1

?S=πl2

△B1

△t1

又

△B1

△t1

=

2B0

T 3

=

6B0

T

联立得，E₁=

6πl2B0

T

因为I1=

E1

R+r

，又因为U₁=I₁R
可得：U₁=

6πl2B0R

T(R+r)

（2）在

T

3

～T时间内，有E₂=

△Φ2

△t2

=πl2

△B2

△t2

又知

△B2

△t2

=

2B0

2T 3

=

3B0

T

联立得E₂=

3πl2B0

T

=

E1

2

由楞次定律知两个过程中产生的电动势方向相反，所以
I2=

1

2

I1
U₂=

1

2

U1=

3πl2B0R

T(r+R)

因为F_电=ma=

qU

d

则有0～

1

3

T时间内，a₁=

qU

nd

，

T

3

～T时间内，a₂=

qU2

md

得：a₂=

a1

2

由v=a₁

T

3

=a₂t₂；
即t₂=

2

3

T，则在t=T时刻速度为零
r₁=

1

2

a₁（

T

3

）²；
r₂=

1

2

a₂（

2T

3

）²；
r=r₁+r₂；
得x=

πl2B0RqT

md(R+r)

（3）若粒子一直做匀加速直线运动到达B板时，速度最大d₀=

1

2

a1(

T

3

)2
d₀=l

πqB0RT 3m(R+r)

所以d≤l

πqB0RT 3m(R+r)

；
答：（1）0-

T

3

时间内A、B两板间的电压U₁=

6πl2B0R

T(R+r)

；
（2）粒子在0-T时间内发生的位移x=

πl2B0RqT

md(R+r)

；
（3）要使粒子到达B板时速度最大，两板间的间距应满足的条件d≤l

πqB0RT 3m(R+r)

．