Question

已知函数f(x)＝xa+1nx，其中a为常数，e为自然对数的底数．（1）当a=-1时，求f（x）的单调区间；（2）若f

已知函数f(x)＝xa+1nx，其中a为常数，e为自然对数的底数．（1）当a=-1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间（0．e]上的最大值为2，求a的值．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）
当a=-1时，f（x）=lnx-x
f′（x）=

1

x

-1=

1?x

x

令f′（x）＞0得，0＜x＜1，令f′（x）＜0得，x＞1或x＜0，
∴函数f（x）增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
（2）f′（x）=

1

a

+

1

x

=

a+x

ax

①当a＜0时，x＞0，∴f′（x）＞0
∴函数f（x）在（0．e]上是增函数，
∴f（x）_max=f（e）=2
∴

e

a

+1=2
∴a=e符号题意；
②当a＜0时，令f′（x）=0得x=-a，
1°若0＜-a≤e，即-e≤a＜0时
∴f（x）_max=f（-a）=2
∴-1+ln（-a）=2，
∴a=-e^{2不符号题意，舍去；}
2°若-a＞e，即a＜-e时，在（0，e]上f′（x）＞0．∴f（x）在（0．e]上是增函数，
故f（x）_max=f（e）=2
∴a=e不符号题意，舍去；
故a=e．