Question

已知α，β是关于x的一元二次方程x 2 -2ax+a+6=0的两个实根，则（α-1） 2 +（β-1） 2 的最小值为______

已知α，β是关于x的一元二次方程x 2 -2ax+a+6=0的两个实根，则（α-1） 2 +（β-1） 2 的最小值为______．

Answer 1

∵一元二次方程x 2 -2ax+a+6=0有两个实根； ∴△=4a 2 -4×（a+6）=4a 2 -4a-24≥0； 解得：a≤-2或a≥3； ∵α，β是关于x的一元二次方程x 2 -2ax+a+6=0的两个实根； ∴α+β=2a，α?β=a+6； （α-1） 2 +（β-1） 2 =α 2 +1-2α+β 2 -2β+1=α 2 +β 2 -2（β+α）+2 =（α+β） 2 -2αβ-2（α+β）+2 =4a 2 -2×（a+6）-2×2a+2 =4a 2 -6a-10 =4（a- 3 4 ） 2 - 49 4 ； ∵a≤-2或a≥3； ∴（a- 3 4 ） 2 ≥（ 9 4 ） 2 ； ∴4（a- 3 4 ） 2 - 49 4 ≥8； 则（α-1） 2 +（β-1） 2 的最小值为8．