Question

如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D、E、F分别是B1A、CC1

如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，D、E、F分别是B1A、CC1、BC的中点．现设A1A=2a（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求证：B1F⊥平面AEF；（3）求二面角B1-AE-F的正切值．

Answer 1

解：方法1：如图建立空间直角坐标系O-xyz，令AB=AA₁=4，
则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），
B₁（4，0，4），D（2，0，2），（2分）
（I）

DE

=（-2，4，0），面ABC的法向量为

OA1

=（0，0，4），
∵

DE

?

OA1

＝0，DE?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．（4分）
（II）

B1F

＝(?2，2，?4)，

EF

＝(2，?2，?2)

B1F

?

EF

＝(?2)×2+(?2)+(?4)×(?2)=0

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