Question

如图，AB是⊙O的直径，CF=BF，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：C是弧BD的中点；（2）若AD=3，

如图，AB是⊙O的直径，CF=BF，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：C是弧BD的中点；（2）若AD=3，⊙O的半径为4，求BC的长．

Answer 1

解答：（1）证明：如图，连接AC，
∵CF=BF，
∴∠BCE=∠DBC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ABC=90°，
∴∠BCE=∠BAC，
∴∠DBC=∠BAC，
∴

BC

=

CD

，
∴C是弧BD的中点；

（2）解：作CG⊥AD于点G，
∵C是弧BD的中点，
∴CD=CB，∠CAG=∠BAC，即AC是∠BAD的角平分线．
∴CE=CG，AE=AG．
在Rt△BCE与Rt△DCG中，

CE＝CG CB＝CD

，
∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL），
∴BE=DG，
∴AE=AB-BE=AG=AD+DG，
∵AD=3，⊙O的半径为4，
即 8-BE=3+DG，
∴2BE=5，即 BE=2.5，
又∵∠CBE=∠ABC，∠CEB=∠ACB=90°，
∴△BCE∽△BAC，
∴

BC

AB

＝

BE

BC

，
∴BC²=BE?AB=20，
解得：BC=±2

5

（舍去负值），
∴BC=2

5

．