Question

如图，D为等腰直角△ABC斜边BC上的一个动点（D与B、C均不重合），连接AD，以AD为一边作等腰直角△ADE，DE

如图，D为等腰直角△ABC斜边BC上的一个动点（D与B、C均不重合），连接AD，以AD为一边作等腰直角△ADE，DE为斜边，连接CE．（1）求证：△ACE≌△ABD；（2）设BD=x，若AB=22；①当△DCE的面积为1.5时，求x的值；②试问：△DCE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并指出此时x的取值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解答：证明：（1）∵BC、DE分别是两个等腰直角△ADE、△ABC的斜边，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC=90°，
∴∠CAE=∠BAD．
在△ACE和△ABD中，

AC＝AB ∠CAE＝∠BAD AE＝AD

∴△ACE≌△ABD（SAS）．

解：（2）①∵AC=AB=2

2

，
∴BC ²=AC²+AB²=(2

2

)2+(2

2

)2＝16，
∴BC=4．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，同理∠ACE=45°，
∴∠DCE=90度．
∵△ACE≌△ABD，
∴CE=BD=x，而BC=4，
∴DC=4-x，
∴Rt△DCE的面积为

1

2

DC?CE=

1

2

（4-x）x．
∴

1

2

（4-x）x=1.5
即x²-4x+3=0．
解得x=1或x=3．
②△DCE存在最大值，理由如下：
设△DCE的面积为y，于是得y与x的函数关系式为：
y=

1

2

（4-x）x（0＜x＜4）
=-

1

2

（x-2）²+2
∵a=-

1

2

＜0，∴当x=2时，函数y有最大值2．
又∵x满足关系式0＜x＜4，
故当x=2时，△DCE的最大面积为2．