Question

如图，已知D为等腰直角三角形ABC斜边BC上的一个动点（D与B、C均不重合），连结AD，三角形AD

E是等腰直角三角形，DE为斜边，连结CE。 （1）判断角ECD的度数并说明理由。（2）当三角形ABC、三角形ADE都是等边三角形，D点为三角形ABC中BC边上的一个动点（D与B、C均不重合），且三角形DCE的周长最小时，求角EDC的度数

Answer 1

解：①∠EDC=90°
∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=90°
∴∠CAE=∠BAD
在△AEC和△ADB中，AC=AB，AD=AE，∠CAE=∠BAD
∴△AEC≌△ADB（边角边）
∴∠ACE=∠B=45°
∴∠ECD=∠ACE+∠ACD=45°+45°=90°
②当△ABC、△ADE 都是等边三角形时，则每个角的角度都为60°。
同理，此时△AEC≌△ADB（边角边）
∴CE=BD。
此时△DCE的周长L=DC+CE+ED=DC+BD+AD=BC+AD
因为△ABC是确定的，所以BC是确定长度的；但D点时可动点，因而AD是变化的；因此当AD最小时，△DCE周长最小。
在等边△ABC中，点A到直线BC的最短距离就是AD⊥BC时 ，此时∠ADC=90°，由于∠ADE=60°，所以此时∠EDC=90°-60°=30°