Question

sin²πx在0到1上的定积分

考研数学。
解题步骤中sin²πx在0到1上的定积分被转变成sin²x在0到1上的积分/π（就是1/π∫（0,1）sin²xdx），看不懂。求解析。
已经明白了，令t=πx。不麻烦大家了。

Answer 1

具体回答如下：

∫(0,1)sin²xdx

=∫(0,1)[1-cos(2x)]/2 dx

=∫(0,1)[1-cos(2x)]/4 d(2x)

=(1/4)∫(0,1)[1-cos(2x)]d(2x)

=(1/4) [2x-sin(2x)/2] |(0,1)

=(1/4)[2π-sin(2)/2-2×0-sin(0)/2]

=(1/4)(2)

=1/2

定积分的意义：

定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距

习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距是相等的。但是必须指出，即使不相等，积分值仍然相同。

Answer 2

具体回答如下：

∫(0,1)sin²xdx

=∫(0,1)[1-cos(2x)]/2 dx

=∫(0,1)[1-cos(2x)]/4 d(2x)

=(1/4)∫(0,1)[1-cos(2x)]d(2x)

=(1/4) [2x-sin(2x)/2] |(0,1)

=(1/4)[2π-sin(2)/2-2×0-sin(0)/2]

=(1/4)(2)

=1/2

定积分定义：

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。

可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式 。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度）。

如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为 ，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。

其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

Answer 3