Question

问大家一道数学题。谢谢。写过程

f（x）=e^2x-alnx。讨论它的导函数零点的个数。证明当a>0时，f（x）大于等于2a+aln（2/a）。

Answer 1

f'(x)=2e^2x-a/x
令g(x)=2xe^2x=a
g'(x)=2e^2x(1+2x)=0得x=-1/2
又因为x>0
g(x)在0<x上单增g(x)>g(0)=0
当a<=0时无零点，
当a>0时有一个零点

由上一问知a>0时f'(x)=0必有一个解设解为x。
2x。e^2x。=a
f(x)>=e^2x。-alnx。
=a/2x。-alna/2e^2x。
=a/2x。+aln2e^2x。/a
=a/2x。+2ax。+aln（2/a）
用基本不等式
>=2a+aln（2/a）

追问

第一问中的x=1/2有什么用？而且为什么a>0就只有一个零点？

追答

不是1/2，是-1/2
这只是求g'(x)的零点，在-1/2左侧为减函数，右侧为增函数
而lnx中x>0的所以函数定义域是x>0
也就是只有右侧有图像，且是单调递增的
g(x)在0g(0)=0
a只是一个常数，与单调函数g(x)最多有一个交点，即有一个零点

追问

不是零点吧。。是极值点啊

追答

导函数的零点啊

说的这么清楚

到时候听你们老师讲，不一样找我

真是的

Answer 2

f'(x)=2e^2x-a/x (x>0)
令f'(x)=0，即2e^2x=a/x
由函数的图像可知，当a>0时，函数y1=2e^2x与y2=a/x图像有一个交点
当a<=0时，无交点
所以，当a>0时，一个零点
当a<=0时，无零点

Answer 3