Question

如图三角形abc中点o是边ac上一个动点 如图,在三角形ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN平行于BC,

设MN交∠ACB的角平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于F .问：
（1）求证：OE=OF
（2）当点o运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
（3）若AC边上存在点o，使四边形AECF是正方形，猜想三角形ABC的形状并证明你的结论。
谢大家。

Answer 1

解：

（1）∵MN∥BC

∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF

又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO

∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF

∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC

∴EO=CO，FO=CO

∴EO=FO

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形

∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO

又∵EO=FO

∴四边形AECF是平行四边形

∵FO=CO

∴AO=CO=EO=FO

∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF

∴四边形AECF是矩形

（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形

∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形

已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°

∴AC⊥EF

∴四边形AECF是正方形

按边分

1、不等边三角形；不等边三角形，数学定义，指的是三条边都不相等的三角形叫不等边三角形。

2、等腰三角形；等腰三角形，指两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

Answer 2

解：（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO．
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．
（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．