如图所示,在三角形ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O做直线MN平行于BC,设MN∠BCA的平分线于点E,
交∠BCA的外角平分线于点F(1)试说明:EO=FO;(2)当点0运动到何处时,四边形AECF是矩形?并说明理由。...
交∠BCA的外角平分线于点F(1)试说明:EO=FO;(2)当点0运动到何处时,四边形AECF是矩形?并说明理由。
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证明:1、
∵EC平分∠BCA
∴∠ECA=∠ECB=∠BCA/2
∵FC平分∠ACG
∴∠FCA=∠FCG=∠ACG/2
∴∠ECA+∠FCA=∠BCA/2+∠ACG/2=(∠BCA+∠ACG)/2
∵∠BCA+∠ACG=180
∴∠ECA+∠FCA=180/2=90
∴∠ECF=∠ECA+∠FCA=90
∵MN∥BC
∴∠OFC=∠FCG
∴∠OFC=∠FCA
∴OF=OC
∵MN∥BC
∴∠OEC=∠ECB
∴∠OEC=∠ECA
∴OE=OC
∴OE=OF
2、当O在AC中点时,AECF为矩形
∵O为AC中点
∴AO=CO
∵OE=OF,∠AOE=∠COF
∴△AOE全等于△COF
∴AE=CF
同理可证AF=CE
∴平行四边形AECF
∵∠ECF=90
∴矩形AECF
∵EC平分∠BCA
∴∠ECA=∠ECB=∠BCA/2
∵FC平分∠ACG
∴∠FCA=∠FCG=∠ACG/2
∴∠ECA+∠FCA=∠BCA/2+∠ACG/2=(∠BCA+∠ACG)/2
∵∠BCA+∠ACG=180
∴∠ECA+∠FCA=180/2=90
∴∠ECF=∠ECA+∠FCA=90
∵MN∥BC
∴∠OFC=∠FCG
∴∠OFC=∠FCA
∴OF=OC
∵MN∥BC
∴∠OEC=∠ECB
∴∠OEC=∠ECA
∴OE=OC
∴OE=OF
2、当O在AC中点时,AECF为矩形
∵O为AC中点
∴AO=CO
∵OE=OF,∠AOE=∠COF
∴△AOE全等于△COF
∴AE=CF
同理可证AF=CE
∴平行四边形AECF
∵∠ECF=90
∴矩形AECF
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1因为已知CE平分∠BCA,所以∠BCE=∠ECA,因为MN//BC,所以∠BCE=∠CEO,所以∠CEO=∠ECA,所以EO=CO,因为CF平分∠OCI,所以∠OCF=∠FCI,因为MN//BC,所以∠OFC=∠FCI,所以∠OFC=∠OCF,所以CO=FO,所以EO=FO
2当点O运动到AC中点时,四边形AECF为矩形
因为由上题以证明EO=FO,若o运动到AC中点 则AO=CO,则AC、EF互相平分,则四边形AECF为平行四边形,因为已知CF平分∠OCI,CE平分∠BCA,所以∠BCE=∠ECO,∠OCF=∠FCI,所以∠ECO+∠OCF=∠BCE+∠FCI,因为∠BCI=180°,所以∠ECO+∠OCF=90°,所以平行四边形AECF为矩形
2当点O运动到AC中点时,四边形AECF为矩形
因为由上题以证明EO=FO,若o运动到AC中点 则AO=CO,则AC、EF互相平分,则四边形AECF为平行四边形,因为已知CF平分∠OCI,CE平分∠BCA,所以∠BCE=∠ECO,∠OCF=∠FCI,所以∠ECO+∠OCF=∠BCE+∠FCI,因为∠BCI=180°,所以∠ECO+∠OCF=90°,所以平行四边形AECF为矩形
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CE和CF是角平分线
角OCF=角DCF
角OCE=角ECB
所以角ECF=90度
MN//BC
所以角DCF=角OFC=OCF
角OCE=角OEC=角ECB
所以边OE=OC=OF(等腰3角行)
(2)
因为O点无论怎么移动,OF=OC=OE都成立,角ECF=90度
反证法,当AECF是矩形时
所以AC=EF(矩形中对角线相等)
AC=AO+OC
EF=EO+OF
OF=OC=OE
所以得出OF=OC=OE=AO
所以当o是AC中点时候是矩形
角OCF=角DCF
角OCE=角ECB
所以角ECF=90度
MN//BC
所以角DCF=角OFC=OCF
角OCE=角OEC=角ECB
所以边OE=OC=OF(等腰3角行)
(2)
因为O点无论怎么移动,OF=OC=OE都成立,角ECF=90度
反证法,当AECF是矩形时
所以AC=EF(矩形中对角线相等)
AC=AO+OC
EF=EO+OF
OF=OC=OE
所以得出OF=OC=OE=AO
所以当o是AC中点时候是矩形
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解:(1)∵MN∥BC,
∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF,
又∵CE平分∠BCO,CF平分∠GCO,
∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF,
∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,
∴EO=CO,FO=CO,
∴EO=FO.
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO,
又∵EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵FO=CO,
∴AO=CO=EO=FO,
∴AO+CO=EO+FO,即AC=EF,
∴四边形AECF是矩形.
∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠GCF,
又∵CE平分∠BCO,CF平分∠GCO,
∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF,
∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,
∴EO=CO,FO=CO,
∴EO=FO.
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
∵当点O运动到AC的中点时,AO=CO,
又∵EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵FO=CO,
∴AO=CO=EO=FO,
∴AO+CO=EO+FO,即AC=EF,
∴四边形AECF是矩形.
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在BC的延长线上任取一点G。
∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE、∠OFC=∠GCF, 又∠OCE=∠BCE、∠OCF=∠GCF,
∴∠OEC=∠OCE、∠OFC=∠OCF,∴EO=CO、OF=CO,∴EO=OF。
当O为AC的中点时,AECF为平行四边形。 证明如下:
由第一个问题的结论,有:EO=OF,又AO=CO,∴AECF是平行四边形。[对角线互相平分]
∴当O运动到AC的中点时,四边形AECF是平行四边形。
∵AECF是正方形, ∴AC=√2AE、∠ACE=45°。
∵∠BCE=∠ACE, ∴∠ACB=2∠ACE=90°。
又AE/BC=√6/2, ∴AC/BC=√2AE/BC=√3, ∴tan∠B=AC/BC=√3, ∴此时∠B=60°。
∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE、∠OFC=∠GCF, 又∠OCE=∠BCE、∠OCF=∠GCF,
∴∠OEC=∠OCE、∠OFC=∠OCF,∴EO=CO、OF=CO,∴EO=OF。
当O为AC的中点时,AECF为平行四边形。 证明如下:
由第一个问题的结论,有:EO=OF,又AO=CO,∴AECF是平行四边形。[对角线互相平分]
∴当O运动到AC的中点时,四边形AECF是平行四边形。
∵AECF是正方形, ∴AC=√2AE、∠ACE=45°。
∵∠BCE=∠ACE, ∴∠ACB=2∠ACE=90°。
又AE/BC=√6/2, ∴AC/BC=√2AE/BC=√3, ∴tan∠B=AC/BC=√3, ∴此时∠B=60°。
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