Question

已知函数f(x)=asinx-bcosx(a、b为常数，a≠0，x∈R)在x=π/4处取得最小值，

已知函数f(x)=asinx-bcosx(a、b为常数，a≠0，x∈R)在x=π/4处取得最小值，则函数
y=f(3π/4-x）是
A.偶函数且它的图像关于点（π，0）对称 B.偶函数且它的图像关于点（3π/2,0）对称
C.奇函数且它的图像关于点(3π/2,0）对称 D.奇函数且它的图像关于点（π，0）对称

Answer 1

f(x)=asinx-bcosx(a、b为常数，a≠0，x∈R)在x=π/4处取得最小值,
∴f(x)>=f(π/4)=(a-b)/√2=-√(a^2+b^2),
∴a<b,a^2-2ab+b^2=2(a^2+b^2),(a+b)^2=0,a+b=0,b=-a>0,
∴f(x)=a(sinx+cosx)=√2asin(x+π/4)(a<0),
f(3π/4-x)=√2asin(π-x)=√2asinx,选D.

Answer 2

追问

为什么最小值为0？

追答

你还没有学导数吧？

换个解法

函数f(x)关于x=π/4对称,则：f[(π/4)+x]=f[(π/4)-x]
令x=(π/4)-t
则：f[(π/4)+(π/4)-t]=f[(π/4)-(π/4)+t]
即：f[(π/2)-t]=f(t)
亦即：f(x)=f[(π/2)-x]
而,f[(π/2)-x]=asin[(π/2)-x]-bcos[(π/2)-x]=acosx-bsinx
所以：asinx-bcosx=-bsinx+acosx
则：(a+b)(sinx-cosx)=0
上式对于任意x均成立,所以：a=-b
那么,f(x)=asinx+acosx=a(sinx+cosx)=√2a*sin[x+(π/4)]
所以：
f[(3π/4)-x]=√2a*sin[(3π/4)-x+(π/4)]
=√2a*sin(π-x)
=√2a*sinx
所以：函数y=f[(3π/4)-x]是奇函数,它的对称点为x=kπ+(π/2)（k∈Z）
选c

追问

导数是微积分的吧？

选d哦

追答

我自己做一下，刚刚都是网上搜的答案

追问

好的，谢谢，求高一的解法

追答

很简单，根据辅助角公式，fx的周期是2π，π/4取到最小值，所以fx= 根号下a平方+b平方sin(x-3π/4)，带入后式子是 根号下a平方+b平方sin(-x)，所以是奇函数，对称点就是和x轴相交的任意点，(π，0)符合条件，所以选d

追问

什么是辅助角公式..

追答

没有学吗？比如sinx+cosx=根号2倍的sin(x+π/4)

追问

没呀..

追答

不用知道也可以的，知道fx的周期是2π就行

追问

嗯，然后呢？

追答

然后fx就类似于sin(x-3π/4)

也就是说，找到一个三角函数，它的周期是2π，最小值在π/4，然后用来做题

追问

但为什么最小值=0？

追答

不对，那个图片不要看了，是用导数做的，导数是选修里面才学，fx的f上有一个'

追问

...饿...大神能否写下来拍给我

追答

高一的做法对吧？

追问

嗯

追答

追问

谢谢，大神可否加个好友，之后有问题艾特你

追答

直接在知道里关注我就好了😉

追问

关注了