Question

如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过O点作直线MN‖BC,设MN交∠ACB的平分线于

如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过O点作直线MN‖BC,设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形ACEF是正方形？

Answer 1

证明：（1）∵MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
∴∠ECO = ∠BCE,∠DCF = ∠OCF
又∵直线MN ‖BC,
∴∠BCE = ∠CEO,∠DCF = ∠CFO
∴∠ECO = ∠CEO,∠CFO = ∠OCF
∴EO = CO,CO = FO
∴ EO = FO
（2）当点O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形,
证明：当EO = FO时,O为EF的中点,
而当O为AC的中点时,说明四边形AECF是平行四边形
由（1）可知CO =EF,而CO =AC
∴EF = AC,所以四边形AECF是矩形.