Question

一道高数极限题

Answer 1

　　利用等价无穷小替换可解：注意
　　　tanx-sinx = tanx*(1-cosx) ~ x*(x²/2) = x³/2 (x→0)，
且
　　　tantanx-sinsinx
　　= tantanx-sintanx+sintanx-sinsinx，
而
　　　tantanx-sintanx ~ tan³x/2 ~ x³/2 (x→0)，
　　　sintanx-sinsinx = 2sin[(tanx-sinx)/2]cos[(tanx+sinx)/2]
　　~ tanx-sinx ~ x³/2 (x→0)，
因此
　　　lim(x→0)(tantanx-sinsinx)/(tanx-sinx)
　　= lim(x→0)(tantanx-sinsinx)/(x³/2)
　　= lim(x→0)(tantanx-sintanx)/(x³/2)
　 　 + lim(x→0)(sintanx-sinsinx)/(x³/2)
　　= 1 + 1
　　= 2。

Answer 2

分子用a²-b²的公式。

追问

这个tan是套在里面的，亲

追答

原分母=sinx【（1/cosx）-1】=sinx【（1-cosx）/cosx】
上式中的分母cosx的极限是1已经确定，
其余的用等价无穷小替换成x³/2。
可见，经用3次洛必达法则，分母的极限就确定为某非零数了。
对原分子用求导3次，可得极限为某非零数。
本题结果=2，计算并核对一下。