Question

函数f(x)=a^x+loga^(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,求a的值

函数f(x)=a^x+loga^(x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a,求a的值（谢谢 需要过程）

Answer 1

因a做了对数函数的底数,所以a>0且a不为1.
当a在(0,1)内时:
a^x单调递减,x+1增,但log<a>x减,故log<a>(x+1)减.
故其和也是减函数.
当a在(1,正无穷)时:
a^x增,x+1增且log<a>(x)增,故log<a>(x+1)增
故其和也是增函数.
总之,函数是单调的.
那么依题必有f(0)+f(1)=a
即1+0+a+log<a>(2)=a
那么log<a>(2)=-1,于是a=1/2

注:由于题目给的"最大值与最小值之和"是对称的,只要单调,把端点带进去就行,避免了再进行讨论.而解出的a,只要为非1正数,就可以.

Answer 2

令g(x)=a^x,h(x)=loga^(x+1),则
容易判断,对于同一个a值,g(x)和h(x)的单调性是相同的.
g(x)和h(x)同时取最大值和最小值,且都是区间端点值.
则:
f(0)=g(0)+h(0)=1+loga^(0+1)=1;
f(1)=g(1)+h(1)=a+loga(1+1)=a+loga2.
则:
1+(a+loga2)=a;
loga2=-1;
a=1/2

Answer 3

a^x与loga(x+1)的单调性相同，都是同为单调增或同为单调减
因此最值在区间端点，一为最大，另一为最小。
即a^0+loga(1)+a^1+loga(2)=a
即1+loga(2)=0
得a=1/2

Answer 4

当a>1
f(x)=a^x+loga(x+1)在[0，1]
最大值为y=a+loga(2)
最小值为y=1
1+a+loga(2)=a
loga(2)=-1
a=1/2
不符合a>1,所以0<a<1
f(x)=a^x+loga(x+1)在[0，1]
最大值为y=1
最小值为y=1a+loga(2)
1+a+loga(2)=a
loga(2)=-1
a=1/2
所以a=1/2