Question

O'Stolz定理的证明

Answer 1

证明如下：
（1）当L=0时；
由条件得：
对任意e>0 存在N使 当n>N时有：
|(An+1-An)/(Bn+1-Bn)-L|<e，即|(An+1-An)/(Bn+1-Bn)|<e;
又Bn>0递增且有n-->+∞时Bn-->+∞，
原式化为：|An+1-An|<e*(Bn+1-Bn)......⑴；
固定e，则存在N1>=N，当n>N1时，有
-e*BN+|AN|<e*Bn
即|AN|<e*(BN+Bn) ..........⑵重要！！！！！
|An|<=|An-An-1|+|An-1-An-2|+....+|AN+1-AN|+|AN|，代入⑴式，得：
<=e*(Bn-Bn-1）+.....+e(BN+1-BN)+|AN|，代入⑵式，得：
<e*(Bn-BN)+e*(Bn+BN)
即|An|<2e*Bn
故|(An)/(Bn)-0|<2e
由数列定义知lim(An)/(Bn)=0
（2）当L=C (C≠0）时
即有lim(An+1-An)/(Bn+1-Bn)=C,
令Cn=An-C*Bn,
显然有lim(Cn+1-Cn)/(Bn+1-Bn)=0,
由（1）得：
故lim(Cn)/(Bn)=0,
即有lim(An)/(Bn)=C,
（3）当L=+∞（L=-∞时类证）时
存在N，当n>N时
有（An+1-An)/(Bn+1-Bn)>1
得出An>Bn>0，且满足An>0递增且有n-->+∞时An-->+∞
所以lim(Bn+1-Bn)/(An+1-An)=0+ (0+即从正数趋近于0)
由1）得：
lim(Bn)/(An)=0+
故lim(An)/(Bn)=+∞
证毕