Question

已知函数f(x)=3x+t/x。（x＞0，y＞0）在x=2处取得最小值，则实数t的值。

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Answer 1

f(x)=3x+t/x
f'(x)=3-t/x²
t≤0时，f'(x)>0 f(x)为增函数，最小值不存在。
t>0时
驻点x=√(t/3)
f''(x)=2t/x³>0
x=√(t/3)为极小值点=2→t=12

Answer 2

xf=3x²十t
3x²-xf十t=0
Δ=f²-12t≥0
f²≥12t
f≥2√（3t）
或者f≤- 2√（3t）
（不合题意）
fmin=f（2）=6十t/2= 2√（3t）
36十t²/4十6t=12t
t²-24t十144=0
t=12

追答

或者用a十b≥2√（ab）
3x十t/x≥2√（3x×t/x）=
2√（3t）
3x=t/x，x²=t/3=4
t=12时，有最小值

追问

开口向上，可不可以用对称轴-b/2a=2，y=12，求出t=12.

追答

不是2次函数

Answer 3

x>0
当t≤0，f（x）恒增，不存在最小值
当t＞0时，f（x）=3x+t/x≥2根号（3x × t/x）=2根号3t，当且仅当3x=t/x时等号成立，故x=2，等式成立，t=12