Question

线性代数 证明题

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• 系统奖励15（财富值+成长值）+难题奖励20（财富值+成长值）

Answer 1

设x=(x1,x2,……,xn),令f(x)=xTAx=a11x1^2+(a12+a21)x1x2+……+(a1n+an1)1xn+a22x2^2+
(a23+a32)x2x3+……+(an-1,n+an,n-1)xnx_n-1+annxn^2
取x1=1,xj=0,j≠1，则f(x)=a11=0.同理取i=2,3,……,n得到a22=a33=……=ann=0
又取xi=xj=1(i≠j),其他为零，分别令i,j取遍1到n的不同值，f(x)=aij+aji=0,所以aij=-aji，i≠j
于是aij=-aij对任意1<=i,j<=n都成立，即A是反对称矩阵
反之，若A^T=-A,则f(x)=f(x)^T=(xTAx)T=xTATx=-xTAx=-f(x),于是f(x)≡0

Answer 2

如果A^2=0则A^k=A^(k-2)A^2=0
反过来如果A^k=0
则|A|^k=|A^k|=0
即|A|=0
A的特征多项式就是：λ^2=(a+d)λ
所以：A^2=(a+d)A
A^k=(a+d)^(k-1)A=(a+d)^(k-2)A^2
因此要吗a+d=0要吗A^2=0
都有A^2=(a+d)A=0

追问

请问λ^2=（a+d）λ怎么来的