Question

高数格林公式，对于P Q偏导相等时曲线积分为零有条件吗

高数格林公式，对于P Q偏导相等时曲线积分为零有条件吗在上面条件下，闭曲线曲线积分为零，仅在单连通区域成立还是复连通区域也成立啊？

Answer 1

∫ P dx+Q dy
要证明此种积分与路径无关,只需证əQ/əx=əP/əy
令P=x+y,Q=x-y,则
əQ/əx=1=əP/əy
∴曲线积分与路径无关（在整个xoy面内）
∴原积分=∫ (x0,x1) P(x,y0) dx+∫ (y0,y1) Q(x1,y) dy
或 =∫ (x0,x1) P(x,y1) dx+∫ (y0,y1) Q(x0,y) dy
对于本题,有
原积分=∫ (1,2) (x+1) dx+∫ (1,3) (2-y) dy
=[x²/2+x]|(1,2)+[2y-y²/2]|(1,3)
=5/2+0
=5/2