Question

设f（x）在（-2，2）内有二阶导数，且f（1）=1，f（x）/sinx在x处极限为1，证：至少在（0，1）纯在1点

使f（x）的二阶导=0

Answer 1

你们凸的定义就是f''(x)<0?
条件只能得到f''(x0)<0，但当f''(x)不连续时，在x0的邻域内，二阶导数f''(x)可能即有小于0的点，也有大于0的点。因此结论是错误的。
比如f(x)=－x^2/10+x^4sin(1/x)，当x不为0时；f(0)=0。其导数为
f'(x)=－x/5+4x^3sin(1/x)－x^2cos(1/x)，当x不为0时；f'(0)=0。
f''(x)=－1/5+12x^2sin(1/x)－6xcos(1/x)+sin(1/x)，当x不为0时；f''(0)=－1/5。
当xk＝1/(kpi+pi/2)时，f''(x)=－1/5+(－1)^k+12xk^2*(－1)^k。很显然，
f''(x(2k))>0，f''(x(2k+1))<0。
由此知道f(x)在0的邻域内非凸非凹。