Question

二重积分化极坐标问题！

二重积分化极坐标问题！图中铅笔画出来的地方化极坐标过程是什么？还有就是Θ角的度数是从哪开始算的，就是哪条线是0度？

Answer 1

解：极坐标是，在平面内取一个定点O(极点)，引一条射线Ox(极轴)，再选定一定长度单位r、正方向角度θ（通常取逆时针方向）来表示该平面内任何一点M位置关系的坐标系。如，用r表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，r叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对 (ρ,θ)就叫点M的极坐标【实务中，通常以直角坐标系的x轴作为OX的起点线，即θ=0的线，0≤θ≤2π】。
本题中，∵积分区域D是以(a,0)为圆心、半径为a，且与y轴相切的圆域。
设x=rcosθ，y=rsinθ，代入圆域方程，有r=2acosθ。又，r表示距离，∴0≤r≤2acosθ。而对极角θ，∵极径从OX出发，“覆盖”圆域D的范围，则θ∈[0,π/2]∪[3π/2,2π]，再进行“等价”处理，∴-π/2≤θ≤π/2。
故，将直角坐标系转化成极坐标系后，D={(r,θ)丨0≤r≤2acosθ，π/2≤θ≤π/2}。【另外，还须注意积分元的变化，在直角坐标系下，积分元为dxdy、转化成极坐标系后，积分元为rdrdθ】。
供参考。