计算定积分∫4 1 dx/x(1+根号x)
定积分∫(4,1)1/(x*(1+√x))dx的值为2ln(3/4)。
解：令F(x)=∫dx/(x*(1+√x))=∫1/(x*(1+√x))dx，
那么定积分∫(4,1)1/(x*(1+√x))dx=F(1)-F(4)。
而F(x)的计算过程如下，
令√x=t，则x=t^2，那么，
F(x)=∫1/(x*(1+√x))dx
=∫1/(t^2*(1+t))d(t^2)
=2∫1/(t*(1+t))dt
=2∫1/tdt-2∫1/(1+t)dt
=2ln|t|-2ln|1+t|+C
=2ln|t/(1+t)|+C
又t=√x，所以F(x)=2ln|√x/(1+√x)|+C
那么∫(4,1)1/(x*(1+√x))dx=F(1)-F(4)
=2ln|1/(1+1)|-2ln|2/(1+2)|
=2ln(3/4)
扩展资料：
1、定积分的性质
若F(x)为f(x)的原函数，则F(x)=∫f(x)dx。那么∫(a,b)f(x)dx=F(b)-F(a)
（1）a=b时，则∫(a,a)f(x)dx=F(a)-F(a)=0
（2）a≠b时，则∫(a,b)f(x)dx=-∫(b,a)f(x)dx=F(b)-F(a)
（3）∫(a,a)k*f(x)dx=k*∫(a,b)f(x)dx=k*（F(b)-F(a)），（其中k为不为零的常数）
2、不定积分的换元法
（1）凑微分法
通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。
例：∫cos3xdx=1/3∫cos3xd(3x)=1/3sin3x+C
（2）通过根式代换法或者三角代换法进行求解
例：∫sinxcosxdx=∫sinxdsinx=1/2sin²x+C
例：∫√(1-x^2)dx，通过令x=sint可得，∫costdsint=∫(cost)^2dt=∫(1/2+cos2t/2)dt
=1/2t+1/4sin2t+C=1/2t+1/2sintcost+C
把sint=x，cost=√(1-x^2)即t=arcsinx代入得
∫√(1-x^2)dx=1/2arcsinx+1/2*x*√(1-x^2)+C
3、不定积分公式
∫1/(x^2)dx=-1/x+C、∫adx=ax+C、∫1/xdx=ln|x|+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C
参考资料来源：百度百科-定积分
参考资料来源：百度百科-不定积分
