Question

有这样一题高中数学题，有一个球的半径为5，用一个平面去截取，求截得的球面面积小于16派的概率是多少？

有这样一题高中数学题，有一个球的半径为5，用一个平面去截取，求截得的球面面积小于16派的概率为多少？
解答过程很容易，可以求得圆的半径为4，连接球心和圆心的一个半径，可以求得球心与圆心的距离为3，所以小于16派的概率为2/5。
现在问题是，符合要求的所有圆心全部在以半径为3小球外部，也就是夹在半径为3和半径为5的那个空间里，每一个圆心代表一个圆。那样的话就可以用体积之比来求概率。求出来就是98/125。请问大家，为什么用体积求出来的概率是错误的？存不存在用不同方法求出来的概率是不同的？但每种方法都是正确的题目？我想不出为什么体积的不可以，看起来也没有什么问题，每个点为圆心有且只有一个圆，所以用这个点代表这个圆是一一对应的关系。没什么漏洞啊

Answer 1

LZ您好
一一对应和均匀取值是两个概念!
就譬如y=x³
对于任意一个x,总有唯一一个y与之对应,反之也一样
然而当我们等距取若干个x值(譬如-1,1,3,5...)时,y值对应却并不均匀分布!(-1,1,27,125...)
所以在这一题,当我们用一个小平面去截球的时候
我们假想这个小平面是一个立方体(譬如,再薄的纸也有厚度),这个厚度是D
那么,一个球能被多少个平面截呢?
当然是2r/D,而和面积,体积无关
只有按"厚度"来截的,才是均匀的.而按体积来等体积截,却不均匀.可以证明,越靠近两极,你截球的平面越"厚"
那么LZ所求的比例有何物理或者几何意义?
在球中任取一点,过这个点做平行于某平面的平面,问做出的这个平面截球面积小/大于16π的概率
在这个问题中,点我们需看成一个"体积"占有一定的球体空间,这个时候用体积比就对了!