Question

为什么连续a就大于等于0？什么原理？

Answer 1

提示：函数1/x在什么情况下连续，什么时候不连续

追问

x为0时不连续，x不为0时连续

追答

很好，那么题目中的f函数只是一个稍微复杂一点的1/x形式的函数，影响其连续性的就是分母是否为零，那么有什么情况是分母为0的呢？

追问

我的理解是既然连续，所以就是正负无穷分别比正负无穷，这样a就要大于等于0,b在负无穷比正无穷的结构中，b需要为负数，让e那个部分为正无穷，这样函数值存在，也就会连续

追答

你是不是对连续的定义有些误解。我举个简单例子，函数 x/(1+x^2)可是在整个实数域都连续的。你的所谓无穷比是想用洛必达求极限值吧，但是极限存在跟连续性并无直接关系，就好像x/(1+x^2)在x趋向正／负无穷的时候均有极限值0，但是函数只在原点取到0值。
函数f连续的的定义是对于任意定义域内x，我们都有f连续于f(x)。而f连续于f(x)的严格定义是对于任何a>0, 存在b>0使得对于任何定义域内满足|x-y|<b的y，我们有|f(x)-f(y)|<a。
我说过题目函数只在分母不为零的情况连续，而e^{bx}值域是所有正数，所以如果要对任何x有a+e^{bx}不为零，只能有a不为负数，否则肯定存在一个x使得 -e^{bx}=a导致分母为0

追问

所以就这么简单？只需要看分母是否为零？分子的x取正负无穷时都不用管？函数连续就是看x1的左右极限是否等于f(x1)即是连续的？？

所以在判断b时候，x是正无穷时怎么就连续了？正无穷时还是变成了正无穷比上b倍的正无穷，怎么就能确定是连续了？？不还是需要洛必达求出值嘛？？左右极限等于f在该点的值

追答

首先要搞清楚，无穷不是一个数，你永远不可能取到无穷，无穷是一个定义，用来描述对于任意给定值，都有更大/更小的值的情况。至于连续的严格定义我已经在上面给出了。

同时我也说过极限存在不意味着连续。给你个反例，让f(0)=2; 对所有非0有理数，f(x)=x; 对所有无理数，f(x)=0。思考一下该函数哪里连续

追问

第一个函数在x为0时连续，因为有确定的值，第二个函数在非0处连续

那。。。判断一开始那道题的b是用的什么原理？？

追答

这不是两个分开的函数，这三个条件构成一个函数

追问

你刚才说的两个函数是不是都是去零邻域内连续呀

追答

……我都说了是一个函数

至于b，那是因为原题目函数在趋向负无穷的极限为0来判断的

追问

去零邻域内连续

我认为

追答

我给的反例是一个在原点函数值为2，非零有理数点函数值为该有理数点，无理数点函数值为0的函数

不对，所有点都不连续

追问

喔。。。所以这道题判断b也和正负无穷没关系对吗？是因为不能让e的bx次方为零，所以b是负的，所以函数连续

对吗

因为判断了a可以为零了

追答

在整个实数轴上都不连续，但在0点极限存在

连续定义是我最初给的那个，那才是判断的最终标准，书上一般写成\epslion-\delta判别法。当然了函数连续还有几个等价的判断方式

是因为如果b不为负，那么在x趋向负无穷时，函数的极限值不为0, 跟a无关