Question

一阶线性微分方程求解答！

如图画红线的两个步骤我看不懂，2xy是怎么对应下面的呢，特别是下面画红线的“-2x”，是怎么带入计算的呢，求解答，真的急。。。

Answer 1

求微分方程 y'+2xy=2xe^(-x²)的通解
解：这里用的【积分常数变异法】求解；
先求齐次方程 y'+2xy=0 的通解：
分离变量得：dy/y=-2xdx；积分之得：lny=-x²+lnc；∴y=c₁e^(-x²)...........①
将①中的积分常数c₁换成x的函数u，得y=ue^(-x²)..............②
将②对x取导数得：y'=u'e^(-x²)-2xue^(-x²).............③
将②③代入原式得：u'e^(-x)-2xue^(-x)+2x[ue^(-x²)]=2xe^(-x²)
化简即得：u'e^(-x)=2xe^(-x²); 再消去e^(-x²)，即得 u'=2x，积分之得u=x²+c；
将u代入②式即得原方程的通解：y=(x²+c)e^(-x²);
这个过程很流畅，也很容易。