Question

在三角形ABC中，b=asinC，c=acosB，判断三角行ABC的形状

Answer 1

显然sinC≤1,cosB≤1,所以b≤a,c≤a
由a/sinA=b/sinB=c/sinC得
sinB=sinAsinC,sinC=sinAcosB,所以
(sinB)^2=(sinAsinC)^2,(sinC)^2=(sinA)^2(1-(sinB)^2)
所以(sinB)^2=(sinA)^2/[1+(sinA)^2],(sinC)^2=1/[1+(sinA)^2]
所以(sinB)^2+(sinC)^2=1,从而(sinC)^2=(cosB)^2,
从而-cosB=sinC>0{B>π/2,从而B最大,舍}或cosB=sinC
从而b=c,等腰,从而B=C,从而sinB=cosB,从而B=C=π/4,从而是等腰直角三角形