Question

一道线性代数题，求从秩的角度或者其他分析这第九题，ABCD四个选项为啥对为啥不对，答案只举了例子，

1/3(α1+α2＋α3)我想求原理分析一下，谢谢

Answer 1

这个就是在考察 "rank/秩" 和 "range/值域"
你首先要知道: "矩阵乘以向量就是列向量的线性组合!"
Ax=0 必定有一个解(0)
如果存在非0解, 就是说存在非零向量, 使得列向量组合为0 ==> 列向量线性相关!
Ax=b 可能有解可能无解
有解的意思时说 b在A的列向量组成的线性空间里(range(A)).
当然, 无解就是b 不再 range(A)
有解又分为两种情况,
唯一的解, 也就是如果还存在Ax1=b, 那么必须有 A(x-x1)=0 ==> A列向量现行无关!
不唯一解, 那就是存在x0 使得 Ax0=0, 那么 A(x+k*x0)=b, 导致了无穷个解