Question

线性代数求帮忙

16题，为什么答案第二行说A的特征值不低于二重？就算是二重，为啥-1就是二重？没太理解我这两个疑惑。还有一个问题，怎么提现A的转置＝A，哪个条件可以看出来？

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Answer 1

先回答最后一个问题，二次型的矩阵A按照定义不就是对称的吗？就是A^T=A.现在考虑A的特征值，首先A是三阶，特征值最多三重，已经得到r(E+A)≦1,所以|E+A|=0,|–E–A|=0,–1是A的特征值，你看答案要把那句话连起来看啊，不是说A的特征值不低于2重，是说A的特征值–1不低于2重，因为(–E–A)X=0的基础解系中最少有两个向量，也就是关于–1至少有两个线性无关的特征向量，所以–1至少是2重的，也就是不是2重就是3重，如果是三重，就没有其他特征值了，但A的迹已知是3，应该是特征值的和，矛盾!所以–1就是2重的，然后根据迹找到另一个特征值是5。

Answer 2

AB=0，那么B的所有列向量都是AX=0的解。r（B）最大为n-r（A）。既r（A）+r（B）≤n。这是很重要结论。
有这个结论，你的第一个问题就搞定了，r（E+A）+r（B）≤3。

r（E+A）≤1，也就是（E+A）X=0，至少有两个无关解，0是E+A的至少2重特征值，-1就是A的至少二重特征值。

然后根据对角线元素和等于特征值的和，就可以求出第三个特征值了。