Question

求微分方程y''－3y'+2y=xe^x的通解

等号右边是x乘e的x次方

Answer 1

解：∵微分方程为y''-3y'+2y=xe^x
∴设方程的特征值为a，有
a²-3a+2=0，(a-1)(a-2)=0，
得：a=1或2
∴方程的特征根为e^x、e^2x
∵方程的右式为xe^x，含有因式e^x
∴设方程的特解为y=(bx²+cx)e^x
(b、c为常数)，有y'=(bx²+cx)e^x+
(2bx+c)e^x，y''=(bx²+cx)e^x+
2(2bx+c)e^x+2be^x
∴有-(2bx+c)e^x+2be^x=xe^x，
得：-2b=1，c-2b=0；b=-0.5，
c=-1
∴方程的通解为y=Ae^(-0.5x²-x+C)+
Be^2x(A、B为任意常数)

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示